2.遅延ポテンシャルの導出(準備)
遅延ポテンシャルは、マクスウェル方程式のローレンツゲージをとったときの微分方程式の解として現れます。
まず、マクスウェル方程式は以下のようであり、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} \nabla \cdot {\boldsymbol{B}}&=&0\\
\nabla \times {\boldsymbol{E}} &=& -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\\
\nabla \cdot {\boldsymbol{E}}&=&\frac{\rho}{\epsilon_0}\\
\nabla \times {\boldsymbol{B}} &=& \mu_0(\boldsymbol{i}+ \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial
t}) \\ \end{eqnarray} \tag{1}
}}$$
ポテンシャルは
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} \boldsymbol{E} &=& -\nabla \phi ~ – ~\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial
t}\\
\boldsymbol{B} &=& \nabla \times \boldsymbol{A} \end{eqnarray} \tag{2}
}}$$
と表現される。すると、マクスウェル方程式のうち、上の2つの式は数学的に自動に満たされる。よってポテンシャルに対するマクスウェル方程式は、下の2つの式を考えればよい。ここまでの流れは今回の要点ではないので、簡単に流す。詳しくは
電磁ポテンシャル – EMANの電磁気学 (eman-physics.net)
を参照すると詳しく書いてある。さらに、
ここで、ローレンツゲージを取ったポテンシャルの微分方程式は以下のように変形できる。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} (\nabla^2-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2})\phi &=& \frac{\rho}{\epsilon_0}\\
(\nabla^2-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2})\boldsymbol{A} &=& \mu _0 \boldsymbol{i} \end{eqnarray} \tag{3}
}}$$
左にある微分演算は微分演算子のダランベシアンと同じ作用をする。□で表現できる。
二つ目の式を成分ごとに見れば、二つの式は、形は全く同じであり、スカラーで考えることができる。このことを踏まえて、少し一般化すれば次の微分方程式を解けばいいということになるだろう。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} □f(\boldsymbol{r},t)=g(\boldsymbol{r},t) \end{eqnarray} \tag{4}
}}$$
任意の関数fを求める微分方程式、変数は位置と時間である。gは後で、電流密度や電荷密度を代入する。
あるグリーン関数Gを用いて解fは、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} f(\boldsymbol{r},t)=\iint G(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}’,t-t’)g(\boldsymbol{r}’,t’) d\boldsymbol{r}’dt’ \end{eqnarray} \tag{5}
}}$$
と求めることができる。そして、グリーン関数Gは以下の微分方程式を満たす。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} □G(\boldsymbol{r},t)=\delta^3(\boldsymbol{r})\delta(t) \end{eqnarray} \tag{6}
}}$$
と、表現される。天下りのようだが、上記の解を微分方程式(4)に代入すれば微分方程式(4)をみたすことは容易に確認できる。このことは前章で扱った。
では、グリーン関数Gを求める。まず、δ関数は以下のように展開できる。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{iyx} dy \end{eqnarray} \tag{7}
}}$$
これにより、微分方程式(4)の右辺は、
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} \delta^3(\boldsymbol{r})\delta(t)=\frac{1}{(2\pi)^4}\iint \mathrm{e}^{i(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{k}+\omega t)} d^3 \boldsymbol{k}d\omega \end{eqnarray} \tag{8}
}}$$
となる。
位置ベクトルの波数にあたるｋの展開は内積を和の形に書き直すとわかりやすいかもしれない。
フーリエ展開することについてはディラックのデルタ関数とフーリエ級数の関係 | 理系大学生の数学駆け込み寺 (univ-study.net)ここで解説がある。
ここでグリーン関数もフーリエ展開する。δ関数を展開したときと同じ基底を取ると
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} □G(\boldsymbol{r},t)=□\frac{1}{(2\pi)^4}\iint \tilde{G}(\boldsymbol{k},\omega) \mathrm{e}^{i(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{k}+\omega t)} d\boldsymbol{k}^3d\omega \end{eqnarray} \tag{9}
}}$$
こうなる。ここで、Gチルダ(上に波線)は、フーリエ展開の時の係数である。
両辺をフーリエ展開した微分方程式(4)は以下のようになる。
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} □\frac{1}{(2\pi)^4}\iint \tilde{G}(\boldsymbol{k},\omega) \mathrm{e}^{i(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{k}+\omega t)} d^3 \boldsymbol{k}d\omega = \frac{1}{(2\pi)^4}\iint \mathrm{e}^{i(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{k}+\omega t)} d \boldsymbol{k}^3d\omega \end{eqnarray} \tag{10}
}}$$
左辺の□を作用させると、指数の肩に乗っているr,tの係数が下りてきて
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} □\frac{1}{(2\pi)^4}\iint \tilde{G}(\boldsymbol{k},\omega) \mathrm{e}^{i(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{k}+\omega t)} d\boldsymbol{k}^3d\omega = \frac{1}{(2\pi)^4}\iint (k^2-\frac{\omega^2}{c^2})\tilde{G}(\boldsymbol{k},\omega) \mathrm{e}^{i(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{k}+\omega t)} d^3 \boldsymbol{k}^3d\omega \end{eqnarray} \tag{11}
}}$$
このようになり、常に等号が成り立つためには、Gチルダが
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} (k^2-\frac{\omega^2}{c^2})\tilde{G}(\boldsymbol{k},\omega) &=& 1\\
\tilde{G}(\boldsymbol{k},\omega) &=& \frac{c^2}{k^2c^2-\omega^2} \end{eqnarray} \tag{12}
}}$$
であることが要請される。したがって求めるべきグリーン関数は
$$\color{black}{\Large{ \begin{eqnarray} G(\boldsymbol{r},t)=\frac{1}{(2\pi)^4}\iint \frac{c^2}{k^2c^2-\omega^2} \mathrm{e}^{i(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{k}+\omega t)} d\boldsymbol{k}^3d\omega \end{eqnarray} \tag{13}
}}$$
であることがわかる。あとは、複素積分するだけであるが、複素積分が一番の山場かもしれない。
次回はこの複素積分をして、遅延ポテンシャルを導出する。
